حل تمرین صفحه 118 ریاضی یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 118 - تمرین 1 برای حل این تمرین، از ویژگی‌های هندسی نمودار و انتقال توابع نمایی استفاده می‌کنیم. **گام اول: یافتن مقدار $a$ با استفاده از مجانب افقی** در نمودار رسم شده، مشاهده می‌کنیم که منحنی با حرکت به سمت چپ (اعداد منفی $x$) به خط افقی $y=1$ بسیار نزدیک می‌شود اما هرگز آن را قطع نمی‌کند. این خط همان **مجانب افقی** تابع است. در تابع نمایی استاندارد $2^x$، مجانب افقی محور $x$ یا همان خط $y=0$ است. چون نمودار یک واحد به سمت بالا منتقل شده است، پس عدد ثابت افزوده شده به تابع یعنی $a$ برابر با $1$ است. $$a = 1$$ **گام دوم: یافتن مقدار $b$ با استفاده از یک نقطه معلوم** با توجه به مختصات روی نمودار، منحنی از نقطه $(0, 2)$ عبور کرده است (محل برخورد با محور عرض‌ها). بنابراین مختصات این نقطه باید در ضابطه تابع صدق کند. با جایگذاری $x=0$ و $y=2$ و مقدار $a=1$ در ضابطه داریم: $$2 = 1 + 2^{(0-b)}$$ حالا معادله را برای به دست آوردن $b$ حل می‌کنیم: $$2 - 1 = 2^{-b}$$ $$1 = 2^{-b}$$ می‌دانیم که هر عدد (بجز صفر) به توان **صفر** برابر با یک می‌شود. بنابراین توان باید صفر باشد: $$-b = 0 \Rightarrow b = 0$$ **نتیجه نهایی:** مقادیر مجهول برابرند با **$a=1$** و **$b=0$** و ضابطه اصلی تابع به صورت $y = 1 + 2^x$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 118 - تمرین 2 این تمرین به مهارت جایگذاری عددی و حل معادلات نمایی ساده می‌پردازد. **بخش الف: محاسبه $g(-1)$** در ضابطه تابع، به جای متغیر $x$ عدد $-1$ را قرار می‌دهیم: $$g(-1) = 4^{-1} + 2$$ طبق قوانین توان، توان منفی پایه را معکوس می‌کند ($4^{-1} = \frac{1}{4}$): $$g(-1) = \frac{1}{4} + 2 = \frac{1 + 8}{4} = \frac{9}{4} = 2.25$$ **بخش ب: یافتن $x$ در معادله $g(x)=66$** ضابطه تابع را مساوی عدد $66$ قرار می‌دهیم: $$4^x + 2 = 66$$ ابتدا عدد ثابت $2$ را به سمت دیگر منتقل می‌کنیم: $$4^x = 66 - 2$$ $$4^x = 64$$ حالا باید عدد $64$ را بر حسب پایه $4$ بنویسیم تا بتوانیم توان‌ها را مقایسه کنیم. می‌دانیم که $4 \times 4 \times 4 = 64$ است، پس $4^3 = 64$. $$4^x = 4^3$$ چون پایه‌ها برابر هستند، پس توان‌ها نیز باید با هم برابر باشند: $$x = 3$$ **جمع‌بندی آموزشی:** دانش‌آموز با حل این تمرین توانایی کار با **توان‌های منفی** و روش **یکسان‌سازی پایه‌ها** برای حل معادلات نمایی را کسب می‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 118 - تمرین 3 برای رسم دقیق نمودار یک تابع در یک بازه مشخص، بهترین روش استفاده از **جدول مقادیر** (نقطه‌یابی) است. **گام اول: تشکیل جدول مقادیر** چند نقطه از بازه $[-2, 2]$ را انتخاب کرده و مقدار $y$ را محاسبه می‌کنیم: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | $y = 4^x - 1$ | $4^{-2}-1 = -\frac{15}{16}$ | $4^{-1}-1 = -0.75$ | $4^0-1 = 0$ | $4^1-1 = 3$ | $4^2-1 = 15$ | **گام دوم: تحلیل رفتار تابع** چون پایه عدد $4$ (بزرگتر از یک) است، تابع **اکیداً صعودی** است. منفی یک در انتهای ضابطه نشان می‌دهد که نمودار تابع $4^x$ **یک واحد به پایین** منتقل شده است. بنابراین مجانب افقی آن خط $y=-1$ خواهد بود. **گام سوم: رسم در دستگاه مختصات** نقاط $(-2, -0.93)$، $(-1, -0.75)$، $(0, 0)$، $(1, 3)$ و $(2, 15)$ را در دستگاه مختصات مشخص می‌کنیم. سپس این نقاط را با یک منحنی نرم به هم وصل می‌کنیم. توجه داشته باشید که در $x=0$ نمودار از مبدأ مختصات عبور می‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 118 - تمرین 4 در این تمرین به رسم توابع ترکیبی و بررسی اثر **قدر مطلق** و **منفی** بر نمودارها می‌پردازیم. **الف) رسم $y=-2^x+1$:** ابتدا نمودار $2^x$ را در نظر بگیرید. علامت منفی پشت آن، نمودار را نسبت به **محور $x$ها قرینه** می‌کند. سپس عدد $+1$ کل نمودار را **یک واحد به بالا** می‌برد. نقطه برخورد با محور $y$ از $1$ به $-1$ و سپس با انتقال به $0$ می‌رسد. **ب) رسم $y=-\log_2 (x-1)$:** این تابع لگاریتمی در مبنای $2$ است که ابتدا **یک واحد به راست** منتقل شده (مجانب عمودی $x=1$ است). سپس به دلیل علامت منفی پشت لگاریتم، نسبت به محور $x$ها قرینه شده و از یک تابع صعودی به یک تابع **نزولی** تبدیل شده است. **پ) رسم $y=2^{|x|}$:** برای رسم این تابع، ابتدا بخش مثبت محور $x$ (جایی که $x \ge 0$) را رسم می‌کنیم که همان نمودار $2^x$ است. سپس چون متغیر داخل قدر مطلق است، نمودار نسبت به **محور $y$ها متقارن** می‌شود. حاصل نموداری شبیه به حرف V منحنی‌وار خواهد بود که کمترین مقدار آن در $(0, 1)$ است. **ت) رسم $y=\frac{|x|}{x} \log x$:** ابتدا به **دامنه** توجه کنید: لگاریتم فقط برای $x > 0$ تعریف شده است. در این بازه ($x$های مثبت)، همیشه $|x|=x$ است. پس کسر $\frac{|x|}{x}$ برابر با عدد $1$ می‌شود. بنابراین ضابطه تابع در دامنه تعریفش ساده شده و به صورت **$y = \log x$** در می‌آید. نمودار این تابع یک لگاریتم معمولی در مبنای $10$ است که از نقطه $(1, 0)$ می‌گذرد. **نکته آموزشی:** در توابع لگاریتمی، همیشه قبل از رسم یا حل، ابتدا دامنه (مثبت بودن عبارت جلوی لگاریتم) را تعیین کنید.